شايد تا کنون شده باشد که در مواقعي که بيکار هستيد يا اينکه انتظار خبر مهمي را مي کشيد براي سرگرم کردن خودتان کاغذي را که در اطرافتان هست برداريد و شروع به تا کردن آن کنيد و بعد از چند بار متوجه شويد که ديگر نمي شود کاغذ را تا کرد. در اين صورت يا از تا کردن کاغذ منصرف مي شويد يا آن را باز مي کنيد و دوباره شروع به تا کردنش مي کنيد... البته ممکن است قبل از اينکه به آن زمان برسيد خبر مهم به شما داده شود و کاغذ را به جاي اولش برگردانيد !!!

اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدي روي آن فکر نکرده باشيم.

اگر ورق را هر بار طوري تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از 7 يا 8 بار نمي توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعي کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از7 يا 8 بار بسيار سخت است. آيا مي توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومي براي تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنيد شما کاغذي را انتخاب کرده ايد که داراي پهناي w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتي به جايي برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.
با هر تا کردني ضخامت کاغذ دو برابر مي شود و پهناي آن نصف خواهد شد. يعني بعد از N بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا مي شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر مي شود.
اگر با کاغذي به پهناي 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w برابر 1/6 مي شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر مي شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر این کاغذ را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی زا 12 بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.



که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

برای یک طول و ضخامت معین عبارت بیانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.